4. Sinusov poučak u trokutu - dokaz visinom iz vrha A
Kao dokaz sinusovog poučka u ovome slučaju ćemo koristiti stranice, kutove i visinu raznostraničnog trokuta ABC. Za početak povučemo visinu na stranicu BC iz vrha A. Zatim uzmemo u obzir dva trokuta, $\triangle \text{ADC}$ i $\triangle \text{ABD}$. U prvom slučaju gledat ćemo $\triangle \text{ADC}$. Iz ovog slučaja ćemo izraziti visinu preko kuta $\gamma$ i stranice b.
$$ \sin \gamma = \frac{v}{b}$$
iz čega slijedi $$v = \sin \gamma \cdot b$$
$$ \sin \gamma = \frac{v}{b}$$
iz čega slijedi $$v = \sin \gamma \cdot b$$
Nakon što smo dobili koliko je visina prelazimo na drugi slučaj tj. na $\triangle \text{ABD}$. Istim postupkom izrazit ćemo visinu iz $\triangle \text{ABD}$.
$$ \sin \beta = \frac{v}{c}$$
iz čega slijedi $$v = \sin \beta \cdot c$$
$$ \sin \beta = \frac{v}{c}$$
iz čega slijedi $$v = \sin \beta \cdot c$$
Pošto je $\text{v}$ visina $\triangle \text{ABC}$ iz vrha A na stranicu BC, ona je jednaka za oba slučaja koja smo promatrali. Stoga možemo izjednačiti ta dva izraza.
$$ \sin \gamma \cdot b = \sin \beta \cdot c$$
Sređivanjem dobivamo $$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$
$$ \sin \gamma \cdot b = \sin \beta \cdot c$$
Sređivanjem dobivamo $$\frac{b}{\sin \beta} = \frac{c}{\sin \gamma}$$
Analogno, možemo dobiti i ostale jednakosti iz sinusovog poučka spuštanjem visine iz preostala 2 vrha $\triangle \text{ABC}$.
5. Dokaz preko obodnih kutova
Neka je $\triangle \text{ABC}$ raznostraničan. Neka je E kružnica opisana $\triangle \text{ABC}$. Odaberimo točku D na kružnici E tako da dužina CD bude promjer kružnice E. Sada imamo dva obodna kuta nad istim lukom, slijedi da su ti kutevi sukladni. Pošto je $\angle{CBD}$ kut nad promjerom, slijedi da je on pravi. Promjer možemo odrediti kao
$$ \sin \alpha = \frac{a}{|CD|}$$
Iz čega slijedi
$$|CD| = \frac{a}{\sin \alpha}$$
$$ \sin \alpha = \frac{a}{|CD|}$$
Iz čega slijedi
$$|CD| = \frac{a}{\sin \alpha}$$
što je sinusov poučak, a CD je promjer kružnice.
Analogno, možemo primijeniti sinusov poučak na ostalim stranicama i kutovima.
Analogno, možemo primijeniti sinusov poučak na ostalim stranicama i kutovima.
6. Sferni trokut
U ovome primjeru prvo trebamo definirati neke nove pojmove kako bismo ga što uspješnije objasnili.
Osnovni pojmovi
Sferna trigonometrija je trigonometrija na kuglinoj površini (sferi).
Sfera je skup svih točaka prostora koje su jednako udaljene od čvrste točke O, koja se zove središte ili centar sfere, a ta je udaljenost radijus R sfere. Oznaka: S(O;R).
Standardna sfera je sfera s centrom u ishodištu prostornog koordinatnog sustava [x, y, z], radijusa 1. Oznaka: S(O;1).
Glavna ili velika kružnica sfere je kružnica koju dobivamo ako sferu presiječemo ravninom kroz njeno središte, a čiji je radijus jednak radijusu sfere.
Orijentirana glavna kružnica sfere je glavna kružnica na kojoj je odabran smjer (pozitivan, negativan).
Svaki presjek sfere polumjera R nekom ravninom je kružnica polumjera r; 0 ≤ r ≤ R.
r = 0 ⇒ kružnica se steže na točku,
r = R ⇒ glavna kružnica.
Antipodalne točke glavne kružnice su njene dijametralno suprotne točke. Označavamo ih C i C’ ili C i –C.
⇒ Za svake dvije točke A, B sfere S(O;R) koje nisu dijametralno (promjerno) suprotne postoji jedinstvena glavna kružnica na kojoj one leže. Ta se kružnica dobiva kao presjek sfere i ravnine određene točkama A, B i središtem sfere O.
⇒ Kroz dvije dijametralno suprotne točke prolazi beskonačno mnogo glavnih kružnica.
Sada krenimo na primjer.
Osnovni pojmovi
Sferna trigonometrija je trigonometrija na kuglinoj površini (sferi).
Sfera je skup svih točaka prostora koje su jednako udaljene od čvrste točke O, koja se zove središte ili centar sfere, a ta je udaljenost radijus R sfere. Oznaka: S(O;R).
Standardna sfera je sfera s centrom u ishodištu prostornog koordinatnog sustava [x, y, z], radijusa 1. Oznaka: S(O;1).
Glavna ili velika kružnica sfere je kružnica koju dobivamo ako sferu presiječemo ravninom kroz njeno središte, a čiji je radijus jednak radijusu sfere.
Orijentirana glavna kružnica sfere je glavna kružnica na kojoj je odabran smjer (pozitivan, negativan).
Svaki presjek sfere polumjera R nekom ravninom je kružnica polumjera r; 0 ≤ r ≤ R.
r = 0 ⇒ kružnica se steže na točku,
r = R ⇒ glavna kružnica.
Antipodalne točke glavne kružnice su njene dijametralno suprotne točke. Označavamo ih C i C’ ili C i –C.
⇒ Za svake dvije točke A, B sfere S(O;R) koje nisu dijametralno (promjerno) suprotne postoji jedinstvena glavna kružnica na kojoj one leže. Ta se kružnica dobiva kao presjek sfere i ravnine određene točkama A, B i središtem sfere O.
⇒ Kroz dvije dijametralno suprotne točke prolazi beskonačno mnogo glavnih kružnica.
Sada krenimo na primjer.
Neka je dana sfera sa središtem u točki O. Presijecimo sferu trima ravninama kojima dobivamo glavne ili velike kružnice, radijusa jednakog kao u sfere. Promatrajući kružnice treba uočiti da se one međusobno sijeku u trima točkama, pod kutom od $ 90^{\circ}$. Spojimo li te tri točke trima lukovima glavnih kružnica, onda se dio sfere omeđen tim lukovima zove sferni trokut s vrhovima A, B, C i obilježava $ \triangle$. Udaljenost između točaka definira se kao duljina kružnog luka glavne kružnice kroz dvije točke koje promatramo. Koristeći primjer, $A,B \in S(O;R)$ se definira kao duljina manjeg luka $\stackrel{\frown}{AB}$ glavne kružnice kroz A i B. Luk $\stackrel{\frown}{AB}$ određuje kut $\angle {AOB} = \alpha$.
Duljina luka $\stackrel{\frown}{AB}$, za kut $\alpha$ izmjeren u radijanima: |$\stackrel{\frown}{AB}| = R \cdot \alpha$.
Duljina luka $\stackrel{\frown}{AB}$, za kut $\alpha$ izmjeren u stupnjevima: |$\stackrel{\frown}{AB}| = R \cdot \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$.
Na standardnoj sferi: |$\stackrel{\frown}{AB|} = \alpha$, odnosno |$\stackrel{\frown}{AB}| = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$.
Duljina luka $\stackrel{\frown}{AB}$, za kut $\alpha$ izmjeren u radijanima: |$\stackrel{\frown}{AB}| = R \cdot \alpha$.
Duljina luka $\stackrel{\frown}{AB}$, za kut $\alpha$ izmjeren u stupnjevima: |$\stackrel{\frown}{AB}| = R \cdot \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$.
Na standardnoj sferi: |$\stackrel{\frown}{AB|} = \alpha$, odnosno |$\stackrel{\frown}{AB}| = \alpha \cdot \frac{\pi}{180^{\circ}}$.
Elementi sfernoga trokuta:
$\stackrel{\frown}{AB} = c$ A', B', C' - antipodalne točke točaka A, B, C
$\stackrel{\frown}{BC} = a$ $\alpha, \beta, \gamma$ - kutovi sfernog trokuta
$\stackrel{\frown}{CA} = b$ - kutovi između stranica, tj. među tangentama na glavne kružnice u vrhovima trokuta
$\stackrel{\frown}{AB} = c$ A', B', C' - antipodalne točke točaka A, B, C
$\stackrel{\frown}{BC} = a$ $\alpha, \beta, \gamma$ - kutovi sfernog trokuta
$\stackrel{\frown}{CA} = b$ - kutovi između stranica, tj. među tangentama na glavne kružnice u vrhovima trokuta
Potrebno je naglasiti poseban slučaj: Kada je trokut pravokutan, tj. kada se radijusi međusobno sijeku pod pravim kutem, onda u tome slučaju svi kutovi sfernoga trokuta iznose $ 90^{\circ}$.
Usporedba geometrije na sferi s onom u ravnini
U ravnini
⇒ Euklidska geometrija |
Na sferi
⇒ geometrija na sferi spada u tzv. neeuklidske geometrije |