1. Opći primjeri
Ovo su primjeri tipičnih zadataka u kojima se primjenjuje sinusov poučak za izračunavanje nepoznanice: kuta ili duljine stranice.
2. Sinusov poučak u trokutu opisane kružnice
U ovome primjeru imamo $\triangle \text{ABC}$ kojemu je opisana kružnica. Kako bismo bolje i preciznije opisali primjenu sinusova poučka razmatrat ćemo više slučajeva. Ono na što obraćamo pažnju jest $\triangle \text{ABS}$ koji se nalazi unutar zadanoga trokuta i po njemu, s obzirom na vrstu trokuta prema kutovima i stranicama, zaključujemo sljedeće:
Prvi slučaj:
Neka je ABS jednakokračni trokut pri čemu je S središte trokutu opisane kružnice, neka je N nožište visine iz vrha S na stranicu AB, krakovi trokuta su polumjeri opisane kružnice, a stranica AB je osnovica.
Prema teoremu o obodnom kutu iz sljedećeg primjera imamo da nam je obodni kut jednak polovini središnjeg kuta. Možemo izvući sljedeću jednakost da nam je sinus od $\angle{ASN}$ jednak polovini osnovice kroz hipotenuzu, što bi preciznije matematičkim simbolima bilo zapisano kao:
$$ \sin \gamma = \frac{\frac{c}{2}}{r}$$
Prvi slučaj:
Neka je ABS jednakokračni trokut pri čemu je S središte trokutu opisane kružnice, neka je N nožište visine iz vrha S na stranicu AB, krakovi trokuta su polumjeri opisane kružnice, a stranica AB je osnovica.
Prema teoremu o obodnom kutu iz sljedećeg primjera imamo da nam je obodni kut jednak polovini središnjeg kuta. Možemo izvući sljedeću jednakost da nam je sinus od $\angle{ASN}$ jednak polovini osnovice kroz hipotenuzu, što bi preciznije matematičkim simbolima bilo zapisano kao:
$$ \sin \gamma = \frac{\frac{c}{2}}{r}$$
Sređivanjem izraza dobivamo da je $$ \sin \gamma = \frac{c}{2r}$$
Analogno, možemo dobiti za preostala dva kuta. Postupak je isti i u slučaju kada je ABS jednakostranični trokut.
Drugi slučaj:
Do drugog slučaja dolazimo kada jedna stranica $\triangle \text{ABC}$ leži na promjeru kružnice opisane trokutu i iznosi 2r. Prema Talesovom teoremu o kutu nad promjerom kružnice, slijedi da je kut iznad promjera pravi kut te možemo zaključiti sljedeće:
$$ \sin \alpha = \frac{a}{|BC|}.$$
Kako je $\alpha = 90^{\circ}$, $ \sin 90^{\circ} = 1$. Iz toga slijedi da je a = |BC|, preciznije rečeno a = 2r.
Drugi slučaj:
Do drugog slučaja dolazimo kada jedna stranica $\triangle \text{ABC}$ leži na promjeru kružnice opisane trokutu i iznosi 2r. Prema Talesovom teoremu o kutu nad promjerom kružnice, slijedi da je kut iznad promjera pravi kut te možemo zaključiti sljedeće:
$$ \sin \alpha = \frac{a}{|BC|}.$$
Kako je $\alpha = 90^{\circ}$, $ \sin 90^{\circ} = 1$. Iz toga slijedi da je a = |BC|, preciznije rečeno a = 2r.
3. Primjer "Ribički štap"
Ovo je primjer zadatka koji se može riješiti preko sinusovog poučka, zbog podataka koji su u zadatku zadani. Vrijednosti koje su poznate i koje možemo mijenjati su duljina ribičkog štapa, duljina flaksa te kut pod kojim ribič drži štap. Iz tih vrijednosti možemo izračunati koliko je minimalno flaksa potrebno da bi udica bila u vodi.
Minimalna potrebna duljina flaksa kako bi udica uopće bila u vodi računa se prema sljedećoj formuli sinusovog poučka:
$$ \frac{H}{\sin \text{(kut držanja)}} = \frac{\text{duljina štapa}}{\sin 90^{\circ} = 1}$$
Iz čega slijedi,
$$ \text{H} = \text{duljina štapa} \cdot \sin \text {(kut držanja)}$$
Minimalna potrebna duljina flaksa kako bi udica uopće bila u vodi računa se prema sljedećoj formuli sinusovog poučka:
$$ \frac{H}{\sin \text{(kut držanja)}} = \frac{\text{duljina štapa}}{\sin 90^{\circ} = 1}$$
Iz čega slijedi,
$$ \text{H} = \text{duljina štapa} \cdot \sin \text {(kut držanja)}$$
Postoje 4 moguća slučaja:
Visina je nepoznanica koju u svakom od slučajeva računamo iz zadanih vrijednosti koje možemo mijenjati - kut držanja štapa, duljina štapa i duljina flaksa.
1° Ako je duljina flaksa manja od potrebne visine H, nema trokuta, stoga nema ni rješenja.
Visina je nepoznanica koju u svakom od slučajeva računamo iz zadanih vrijednosti koje možemo mijenjati - kut držanja štapa, duljina štapa i duljina flaksa.
1° Ako je duljina flaksa manja od potrebne visine H, nema trokuta, stoga nema ni rješenja.
2° Ako je duljina flaksa jednaka potrebnoj visini H, tada uočavamo pravokutni trokut, stoga postoji jedno rješenje gdje je udica.
visina H = 3,42m
duljina flaksa = visini H
duljina štapa = 10m
duljina vode = 8,66m
$\angle (\text{ribičkog štapa}) = 20^{\circ}$
duljina flaksa = visini H
duljina štapa = 10m
duljina vode = 8,66m
$\angle (\text{ribičkog štapa}) = 20^{\circ}$
3° Ako je duljina flaksa veća od potrebne visine H, tada postoje dvije opcije.
visina H = 3,42m
duljina flaksa = 4,7m duljina štapa = 10m duljina vode = 7,01m $\angle (\text{ribičkog štapa}) = 20^{\circ}$ $\angle (\text{između vode i flaksa}) = 115,90^{\circ}$ |
visina H = 3,42m
duljina flaksa = 4,7m duljina štapa = 10m duljina vode = 11,12m $\angle (\text{ribičkog štapa}) = 20^{\circ}$ $\angle (\text{između vode i flaksa}) = 64,05^{\circ}$ |
4° Ako je duljina flaksa veća od duljine ribičkog štapa, tada postoji samo jedno rješenje.
Postoji i 5. mogućnost, kada je duljina štapa = duljina flaksa. U tome slučaju su kutovi koje zatvara štap sa vodom i flaks sa vodom jednaki i iznose 30°. Tada dobivamo jednakokračan trokut, ali taj slučaj nećemo promatrati i rješavati. Njega ostavljamo Vama.
U svakome slučaju možemo uz pomoć sinusova poučka rješavati tražene nepoznanice, ali račun također ostavljamo za vježbu.
U svakome slučaju možemo uz pomoć sinusova poučka rješavati tražene nepoznanice, ali račun također ostavljamo za vježbu.